Recomendación de Libros: Teoría de la Probabilidad

Una de las áreas más útiles de las matemáticas es la probabilidad, gracias a la incertidumbre constante en la que vivimos nuestras vidas y su uso para poder obtener información sobre el pasado, el presente y el futuro. Esta es un área fundamental en la que uno se tiene que especializar cuando se dedica a la estadística y, sobre todo, a las finanzas cuantitativas. He leído varios libros sobre probabilidad y procesos estocásticos, pero los que más recomiendo para poder adentrarse de verdad y entender lo que se está haciendo son los siguientes.

Probability: An Introduction - Allan Gut

Este libro fue concebido como texto introductorio para los cursos de primer y segundo año en matemáticas en las universidades de Bristol, Oxford y Cambridge, pero su claridad lo hace también útil para estudiantes de grados en Economía, Ingeniería y Física con interés serio en la probabilidad. Este libro lo usé cuando yo mismo me dije: "bueno, voy a estudiar probabilidad desde cero, como si no supiera, con algo sólido y como lo hacen en universidades como Oxford".

El texto es extremadamente compacto pero riguroso, ideal para estudiantes que buscan una presentación concisa sin sacrificar profundidad. Aunque no se basa en teoría de medida, hace esfuerzos honestos por mantener el rigor matemático, avisando cuando se utilizan argumentos más heurísticos. En ese sentido, se parece más a unas notas de clase pulidas que a un manual extenso, lo cual es intencional y ventajoso para quienes siguen un curso con apoyo docente.

Los requisitos previos incluyen cálculo diferencial e integral de una variable, álgebra básica, y algo de familiaridad con la notación lógica y de conjuntos. No se requiere teoría de medida, pero sí madurez matemática para seguir argumentos formales (si se quisiera). Las explicaciones, no obstante, son muy buenas como para no seguir el libro perfectamente.

Entre los temas más importantes que aborda este libro y que recomiendo dominar se encuentran:

• Variables aleatorias discretas y continuas

• Generación de funciones y momentos

• Lemas de convergencia y teoremas límite (ley débil, CLT, desviaciones grandes)

• Procesos estocásticos elementales: ramificación, paseo aleatorio y proceso de Poisson

• Cadenas de Markov en tiempo discreto y su convergencia

Este libro es muy adecuado como texto base para un curso inicial de probabilidad en un grado exigente o como repaso riguroso previo a un máster. También es útil para autodidactas con buena base en matemáticas.

Figura 1. Portada de "Probability: An Introduction" de Geoffrey Grimmett y Dominic Welsh

An Intermediate Course in Probability - Allan Gut

Este libro lo utilicé en mi MSc in Statistics & Operations Research en la Politécnica de Catalunya. Este es un libro muy riguroso pero pedagógico. Gut dedica muchas páginas a ejemplos resueltos desde varios enfoques. Las demostraciones son detalladas pero no requieren teoría de medida, por lo que sirve como puente hacia cursos de posgrado.

No obstante, se requiere una base sólida en cálculo diferencial e integral, buen control del álgebra lineal y una previa introducción a la probabilidad. Los dos últimos requisitos suelen ser estándar para universitarios en STEM y Economía en España, aunque el primer requisitp depende de la carrera STEM o del grado concreto.

Algunos de los temas más importantes de este libro, y que recomiendo mirar, son los siguientes:

• Variables aleatorias multivariantes

• Transformaciones y estadísticos de orden

• Distribución normal multivariante

• Convergencia débil y fuerte

• Proceso de Poisson

Yo esperaría dominar estos temas si trato con un estudiante de posgrado.

Figura 2. Portada de "An Intermediate Course in Probability" de Allan Gut

Essentials of Stochastic Processes – Richard Durrett

Este es uno de los tratados más completos que he leído para adentrarse en teoría de medida con aplicaciones inmediatas a probabilidad, una verdadera obra de arte y de lo más completo en teoría de la medida. Lo he estado utilizando últimamente como referencia cuando para preparar mi MSc en Warwick y para mi futuro PhD en el área de probabilidad y estadística, particularmente me centro en los fundamentos de teoría de la medida para la probabilidad avanzada y losprocesos estocásticos.

Se trata de un libro profundo y exigente, aunque cuidadosamente estructurado. A diferencia de otros textos clásicos como Royden o Rudin, este integra de forma natural la teoría de medida y la probabilidad matemática desde el inicio. Los autores comienzan con fundamentos generales (espacios de medida abstractos, funciones medibles, extensión de medidas) y rápidamente se mueven hacia temas más avanzados como los teoremas de convergencia (MCT, DCT, Fatou), espacios L^p, martingalas, procesos de Poisson, movimiento browniano, y métodos modernos como el bootstrap o MCMC.

Este libro requiere un conocimiento sólido en análisis real, álgebra lineal y algo de familiaridad previa con probabilidad matemática (como lo que se ha visto en otros libros). No es para principiantes, pero sí ideal para estudiantes de máster o doctorado que quieran dominar el enfoque moderno de la probabilidad desde bases rigurosas. También diría que es para todos aquellos que quieran una base matemática muy sólida para probabilidad, un entendimiento de verdad sobre todo aquello que se ve en cursos anteriores.

Algunos de los temas más importantes que recomiendo dominar de este libro son:

• Construcción de medidas (teorema de Carathéodory y medidas de Lebesgue-Stieltjes)

• Teoremas de convergencia y teoría de integración

• Espacios L^p, dualidad, y teoría funcional básica

• Teoría de la probabilidad basada en medida: independencia, leyes de los grandes números, y CLT

• Martingalas, expectativa condicional y teoremas de paro

• Procesos de Markov y movimiento browniano

• Bootstrap y procesos de mezcla

Este libro no solo cubre teoría: ofrece ejercicios que obligan al lector a consolidar cada concepto con precisión técnica. Recomendado para cualquier estudiante serio de estadística matemática, probabilidad teórica o finanzas cuantitativas. Este libro, en mi opinión, sí crea expertos en el tema. Una preparación perfecta para PhD o cursos superiores.

Figura 3. Portada de "Measure Theory and Probability Theory" de Krishna B. Athreya y Soumendra N. Lahiri

Essentials of Stochastic Processes – Richard Durrett

Este libro es una introducción muy accesible y moderna al estudio de los procesos estocásticos, con un enfoque aplicado y práctico. Es ideal para estudiantes de grados técnicos o de máster en estadística, ingeniería financiera, informática o investigación operativa. Durrett enseña con ejemplos reales, y en muchos casos parte de una explicación intuitiva antes de ofrecer la demostración formal.

Este libro se utiliza en universidades como Duke, Cornell o Purdue, y es habitual encontrarlo en cursos de estadística aplicada o teoría de colas. El nivel formal es más bajo que el de Grimmett y Stirzaker (el siguiente), y no requiere teoría de medida, por lo que resulta adecuado como primer libro serio en procesos estocásticos.

Se recomienda tener conocimientos sólidos en probabilidad básica, dominio del álgebra lineal, y cálculo diferencial e integral, aunque este último no se utiliza con excesiva sofisticación.

Algunos de los temas más importantes de este libro, y que recomiendo mirar, son los siguientes:

• Cadenas de Markov (en tiempo discreto y continuo)

• Procesos de Poisson

• Procesos de renovación

• Martingalas (con aplicación a teoría de juegos y finanzas)

Con esto, un estudiante debería estar bien preparado para resolver problemas reales de colas, inventarios, o modelos de decisión estocástica (bueno, esto se debería matizar bastante, véase "Stochastic Optimization and Reinforcement Learning" de Powell).

Figura 4. Portada de "Essentials of Stochastic Processes" de Richard Durrett

Probability and Random Processes - Geoffrey Grimmett & David Stirzaker

Este libro es uno de los textos más conocidos y utilizados a nivel internacional para cursos avanzados de probabilidad y procesos estocásticos. Se utiliza en universidades como Oxford y Cambridge para sus grados, y también forma parte de la bibliografía recomendada para programas exigentes de máster o cursos puente hacia doctorado.

Aunque está pensado para estudiantes de matemáticas, también es útil para físicos, estadísticos e ingenieros con una fuerte base matemática. El texto es muy formal pero accesible, y la estructura favorece el aprendizaje progresivo, con capítulos extensos, numerosos ejemplos, problemas y explicaciones que van desde lo básico a lo profundo. Para aprovecharlo adecuadamente, se requiere un muy buen dominio de cálculo (incluida la noción de sucesiones, continuidad y series), álgebra lineal y un curso de probabilidad intermedia.Algunos de los temas más importantes de este libro, y que recomiendo mirar, son los siguientes:

• Cadenas de Markov en tiempo discreto y continuo

• Procesos de Poisson y procesos de renovación

• Martingalas y teoremas límite

• Procesos gaussianos y el movimiento browniano

• Aplicaciones en colas, genética, sistemas de redes y teoría de la información

Este libro es referencia para estudiantes que buscan una formación sólida y teórica en probabilidad, y sirve como puerta de entrada a la investigación o a másteres cuantitativos de alto nivel.

Figura 5. Portada de "Probability and Random Processes" de Geoffrey Grimmett y David Stirzaker

Últimos Consejos

Yo creo que siguiendo estos libros, y en este orden específico (excepto, posiblemente, el tercero sobre Measure Theory, que incluye muchos temas de procesos estocásticos), uno puede llegar tranquilamente al nivel de pre-PhD (o incluso in-PhD) de una buena universidad anglosajona si se practica y se lee lo suficiente cada uno de estos libros.

Incluso, y como siempre digo, si solo se lee la teoría y se tratan algunos pocos ejemplos y ejercicios, la diferencia con otros alumnos y la profundidad de entendimiento que se exhibiría sería totalmente palpable. Estos libros son una biblia en mi opinión, ¡así que usadlos!